Математика на шахматной доске
Математика на шахматной доске
Гик Е.Я. — Математика на шахматной доске. — Москва: Наука, 1976. — 178 с.
В книге рассказывается о разнообразных связях, существующих между математикой и шахматами: о математических легендах о происхождении шахмат, об играющих машинах, о необычных играх на шахматной доске и т. д. Затронуты все известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему: задачи о шахматной доске, о маршрутах, силе, расстановках и перестановках фигур на ней. Рассмотрены задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которыми занимались великие математики Эйлер и Гаусс. Да и математическое освещение некоторых чисто шахматных вопросов - геометрические свойства шахматной доски, математика шахматных турниров, система коэффициентов Эло.
Ответственный редактор - доктор физико-математических наук Н. Я.ВИЛЕНКИН
Оглавление Предисловие В. А. Успенского Шахматная математика Глава 1. Легенда о мудреце и электронные вычислительные машины Глава 2. Задачи о шахматной доске Глава 3. Геометрия шахматной доски Глава 4. Конь-хамелеон Глава 5. Задача о ходе коня Глава 6. Неповоротливая ладья Глава 7. Ферзь-часовой Глава 8. Задача о восьми ферзях Глава 9. Независимость н доминирование шахматных фигур Глава 10. Сила шахматных фигур Глава 11. Перестановочные задачи Глава 12. Шахматно-математические рекорды Глава 13. Математические игры на шахматной доске Глава 14. Система индивидуальных коэффициентов Глава 15. Математика шахматных турниров Литература Список иллюстраций Примечания
Несколько выдержек из книги:
В главе десятой предпринимается попытка выразить в цифрах, причём математически убедительно, сравнительную силу шахматных фигур. Эта проблема не может не занимать и практического шахматиста, и математика, составляющего программу шахматной игры для вычислительной машины. Все знают, конечно, что сила той или иной фигуры зависит от конкретной ситуации на доске и что нетрудно придумать позицию, где конь оказывается сильнее ферзя; но никто не сомневается, вместе с тем, что ферзь всё-таки более сильная фигура, нежели конь. Естественно считать фигуру тем сильнее, чем большее число полей она может бить; это число угрожаемых полей зависит от исходной позиции фигуры, и для всех фигур, кроме пешки (которая ходит одним способом, а бьёт — другим), совпадает с числом полей, достижимых из данного поля за один ход. Вычисляя число достижимых полей для каждого возможного для данной фигуры исходного поля, складывая эти числа и деля их на число возможных исходных полей, мы получаем количественно выраженную оценку средней силы фигуры. Соответствующие цифры приведены далее. Замечательно, что они не слишком расходятся с шахматной традицией, хотя предложенный способ вычисления, по меньшей мере, по двум причинам может рассматриваться лишь как самое первое приближение к истинной силе фигур (если такое понятие вообще имеет смысл). Во-первых, не совсем ясно, насколько проводимые вычисления отражают силу пешки, поскольку для неё угрожаемые поля не совпадают с достижимыми; кроме того, если вести расчет не на один ход, а, скажем, на два, то пешка, стоящая на предпоследней горизонтали, получает, ввиду превращения, гораздо более широкие возможности движения. Во-вторых, вычисления для каждой фигуры проводятся в искусственной ситуации, когда на доске расположена только эта фигура; число достижимых полей, конечно, изменится, если на доске будут стоять и другие фигуры: ферзь, окружённый со всех сторон фигурами своего цвета, имеет ноль достижимых полей, в то время как конь в том же положении может иметь их восемь. Разумеется, подсчет числа достижимых полей не только для каждого исходного поля (как это сделано в книге), но и для каждой дислокации фигур на остальных полях вызывает колоссальные трудности.
В главе тринадцатой рассматриваются некоторые обобщения шахматной игры. К ним относятся как игры на обычной шахматной доске, но с необычными правилами, так и игры на необычных досках. Подобные игры отнюдь не являются только плодом чистого воображения. Так, предложенная Мартином Гарднером игра в «уполовиненные шахматы» (доска 5×5, и у каждой стороны по пять пешек и по одной фигуре каждого вида, причём пешке запрещено ходить на два поля сразу) пользуется популярностью у московских школьников, а знаменитый Капабланка с целью преодолеть казавшуюся ему неотвратимой «ничейную смерть» шахмат играл (и выиграл со счетом 3:1) в 1929 г. матч с венгерским гроссмейстером Мароци на доске 16×12 с удвоенным комплектом фигур (начальный ход пешки возможен сразу на три поля, а для победы достаточно заматовать любого из королей противника).
Начнём наш рассказ о математике на шахматной доске с одной легенды о происхождении шахмат. Эта легенда связана с математическим расчётом, который приводит к неожиданному результату.
Шахматы, как известно, одна из самых древних игр. Английский востоковед Г. Мэррей в своей «Истории шахмат» датирует возникновение игры V в. нашей эры. А совсем недавно в Узбекистане были обнаружены старинные шахматные фигуры, которые археологи относят ко II в. нашей эры. Поскольку шахматы имеют столь древнюю историю, не удивительно, что с ними связаны различные предания и легенды, правдивость которых за давностью времени, невозможно проверить. Вот старинная легенда об изобретателе шахмат.
Когда персидский шах (а в некоторых вариантах легенды - индийский царь) познакомился с шахматами, он был восхищён их остроумием и обилием возможных комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрёл игру, является его подданным, шах позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца и был удивлён его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зёрна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, и так далее - на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Персидский шах приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитрого мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах персидского шаха, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал
1 + 2 + 22 + ... + 263 = 264 - 1
зёрен. Это фантастически большое число записывается двадцатью цифрами. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна (высотой 4 и шириной 20 метров) должен простираться от Земли до Солнца.
